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简单线性回归模型:

二变量线性回归模型。模型 是对现实的抽象和表述;在计量经济学中,模型一般是 用数学形式表示的。回归在字面上是返回之意。英国生 物学家高尔顿 (Francis Galton)在研究子女身高与父 母身高之间的关系时引入回归一词,他认为子女身高 有回归到总体平均身高的趋势,说这是 “回归到普通 人”。而在计量经济学中的回归分析,则是指描述和研 究经济变量之间的随机关系。最简单的形式是只有X 和Y两个变量之间随机关系的数学形式,这就是简单 线性回归模型,也就是二变量线性回归模型。如下式所 示。

Y=α+βX+e (1)

式中,Y是应变量,亦称回归应变量或被解释变量;X 是自变量,亦称回归自变量或解释变量、设计变量,为 固定的或非随机的; e是随机扰动,亦称误差项,为随 机变量;α和β是未知的回归参数或称位置参数,其中 α是截距,β是斜率。比如一定时期的家庭消费支出 (Y)与家庭收入 (X)之间的关系就可用 (1)式来表 示。

(1) 式中,解释变量X的方次为1,Y是X的线 性函数;同时,就参数而言,Y也是参数α和β的线性 函数。线性回归中的线性,一般是指参数的线性,而不 管解释变量是否为线性。

(1)式中,α+βX是Y的确定部分,e是Y的随机 部分。随机变量e使Y也成为随机变量。于是,对于 X的每一个值,Y与之对应的不是各个确定值而是各 值的概率分布。这就是X与Y的随机关系,也是回归 模型的随机性。

随机扰动e代表着四种主要因素。即模型中变量 的省略;模型的数学形式不完善;人们的随机行为和其 它不可预料的随机影响; 测量误差和归并误差。

(1)式中的变量X和Y的值是可观测的,而e是 不可观测的。如果X和Y有n个观测值,则(1)式可 写成如下形式:

Yi=α+βXi+ei (i=1,2,…n) (2)

式中参数α和β是未知的,是利用已知的X和Y的n 个观测值加以估计的。为此,必须对不可观测的ei作 出四条古典假定(见“古典线性回归模型”),然后运用 普通最小平方法(OLS)可得出参数α和β的估计量如下:

式中分别是X和Y的n个观测值的平均数。

如果(3)式中的Xi和Yi都用其与平均数的离差 表示, 即xi=Xi-,yi=Yi-,则可得到比较简单 的估计量公式:

简单线性回归模型也可用矩阵和向量形式表示。 如果把 (2) 式的n个观测值都写出式子来,则为:

可改写成

可简写为

Y=Xβ+e (7)

式中

其中X称为设计矩阵。若满足对不可观测的扰动e的 古典假定,则可用OLS法得到(7)式中参数β的估计 量b:

式中

上面各个参数估计量公式,都是根据各个变量的 观测值计算出来的。例如,家庭支出Yi和家庭收入Xi 有n年(或季)资料,各公式分别要求相应的计算资料, 见表1。

表1中的第1、2、3、4栏的四个合计数 (∑) 及 平均数,用以计算(3)、(4)以及(9)、 (10)式 再算(8)式,第7、8栏的两个合计数(Σ)及平均数用以计算 (5)、 (6) 式。

参数的OLS估计量具有一些优良特性: 1.具有 线性特性, 即样本观测值Yi的线性函数: =f(Y),=f (Y); 2.具有无偏特性, 即E()=α,E () =β;3.具有最小方差特性,即在任何线性无偏估计量 中,OLS估计量的方差最小,称为最佳估计量。总起 来说,OLS估计量是最佳线性无偏估计量(Best Linear Unbiased Estimotor,BLUE)。

表1 有关数据的计算资料

时 间   XiYi Xi2 Yi-=yi Xi-=xi xiyi xi2
  1 2 3 4 5 6 7 8
1

2

Y1

Y2

X1

X2

X1Y1

X2Y2

X12

X22

y1

y2

x1

x2

x1y1

x2y2

x12

x22

n Yn Xn XnYn Xn2 yn xn xnyn xn2
n ΣYi ΣXi ∑XiYi ΣXi2 ∑yi=0 ∑xi=0 ∑xiyi ∑xi2
 =ΣYi/n=ΣXi/n 

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